Текст учебника. Урок 13. Степенная функция y = xⁿ (n∈N), её свойства и график. | Исследование свойств функции y = xⁿ

В начало Календарь Классы Предметы Онлайн-школа Каналы и группы Контакты Регистрация

Класс: 9
Предмет: алгебра
Тема урока: Степенная функция y = xⁿ (n∈N), её свойства и график
Тип урока: урок изучения нового материала
Цель урока: изучить степенную функцию с натуральным показателем, её свойства и графики в зависимости от чётности показателя.
Планируемые результаты:

Знать определение степенной функции с натуральным показателем
Уметь исследовать свойства функции y = xⁿ для чётных и нечётных n
Уметь строить графики степенных функций и описывать их свойства

2. Исследование свойств функции y = xⁿ

2.1. Чётность и нечётность

Вспомним определения:

Функция называется чётной, если для любого $x$ из области определения выполняется $f (- x) = f (x)$ .
Функция называется нечётной, если для любого $x$ из области определения выполняется $f (- x) = - f (x)$ .

Рассмотрим $f (x) = x^{n}$ :

$f (- x) = (- x)^{n} = (- 1)^{n} \cdot x^{n}$

Отсюда:

Если $n$ — чётное ( $n = 2 k$ ), то $(- 1)^{n} = 1$ , значит $f (- x) = f (x)$ — функция чётная.
Если $n$ — нечётное ( $n = 2 k + 1$ ), то $(- 1)^{n} = - 1$ , значит $f (- x) = - f (x)$ — функция нечётная.

Пример 1:

$y = x^{2}$ — чётная функция
$y = x^{4}$ — чётная функция
$y = x^{3}$ — нечётная функция
$y = x^{5}$ — нечётная функция

2.2. Монотонность (возрастание и убывание)

Для нечётных n ( $n = 1, 3, 5, . . .$ ):

Производная (будет изучаться позже) положительна при всех $x \neq 0$ , функция возрастает на всей области определения.
Функция $y = x^{n}$ при нечётном $n$ является возрастающей на $R$ .

Для чётных n ( $n = 2, 4, 6, . . .$ ):

При $x < 0$ : функция убывает (чем меньше $x$ , тем больше $y$ по модулю, но с учётом чётности — при движении к нулю значения уменьшаются)
При $x > 0$ : функция возрастает
Точка $x = 0$ — точка минимума

2.3. Ограниченность

При нечётных $n$ : функция не ограничена ни сверху, ни снизу. При $x \to + \infty$ $y \to + \infty$ , при $x \to - \infty$ $y \to - \infty$ .
При чётных $n$ : функция ограничена снизу (минимальное значение $y = 0$ достигается при $x = 0$ ), но не ограничена сверху.

2.4. Область значений

Для нечётных $n$ : $E (y) = R = (- \infty; + \infty)$ — все действительные числа.
Для чётных $n$ : $E (y) = [0; + \infty)$ — все неотрицательные числа.

2.5. Нули функции и промежутки знакопостоянства

Нуль функции: $x^{n} = 0$ только при $x = 0$ (для любого $n$ ).
Промежутки знакопостоянства:
- При нечётных $n$ : $y > 0$ при $x > 0$ , $y < 0$ при $x < 0$ .
- При чётных $n$ : $y \geq 0$ для всех $x$ , $y = 0$ только при $x = 0$ .