Текст учебника. Урок 13. Степенная функция y = xⁿ (n∈N), её свойства и график.

5.1. Пример 2: Исследовать функцию y = x⁶

Решение:

• $n=6$ — чётное

• Область определения: $\mathbb{R}$

• Чётность: чётная

• Область значений: $[0;+\mathrm{\infty })$

• Монотонность: убывает на $(-\mathrm{\infty };0]$, возрастает на $[0;+\mathrm{\infty })$

• Нули: $x=0$

• Промежутки знакопостоянства: $y\ge 0$ при всех $x$

• Ограниченность: ограничена снизу (y ≥ 0)

• Наименьшее значение: 0 при $x=0$

5.2. Пример 3: Исследовать функцию y = x⁷

Решение:

• $n=7$ — нечётное

• Область определения: $\mathbb{R}$

• Чётность: нечётная

• Область значений: $\mathbb{R}$

• Монотонность: возрастает на $\mathbb{R}$

• Нули: $x=0$

• Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x>0$, $y<0$ при $x<0$

• Ограниченность: не ограничена

5.3. Пример 4: Сравнение графиков

Расположить в порядке возрастания при $x=0.5$ значения функций: $x^2,x^3,x^4,x^5$

Решение:
При $x=0.5$:

• ${0.5}^2=0.25$

• ${0.5}^3=0.125$

• ${0.5}^4=0.0625$

• ${0.5}^5=0.03125$

Чем больше степень, тем меньше значение (так как 0 < x < 1).

Ответ: $x^5<x^4<x^3<x^2$

При $x=2$:

• $2^2=4$

• $2^3=8$

• $2^4=16$

• $2^5=32$

Чем больше степень, тем больше значение.

5.4. Пример 5: Симметрия графиков

Определить, какие из точек принадлежат графику функции $y=x^4$: A(2; 16), B(-2; -16), C(-2; 16)

Решение:
Для $y=x^4$:

• A: $2^4=16$ — да

• B: $(-2{)}^4=16\mathrm{\ne }-16$ — нет

• C: $(-2{)}^4=16$ — да

Так как функция чётная, если точка (2; 16) принадлежит, то и (-2; 16) принадлежит.