Текст учебника. Урок 13. Степенная функция y = xⁿ (n∈N), её свойства и график.

Главные выводы:

1. Степенная функция с натуральным показателем имеет вид $y=x^n$.

2. При чётном $n$ функция чётная, область значений $[0;+\mathrm{\infty })$, убывает на $(-\mathrm{\infty };0]$, возрастает на $[0;+\mathrm{\infty })$.

3. При нечётном $n$ функция нечётная, область значений $\mathbb{R}$, возрастает на всей области определения.

4. Все графики проходят через точки (0; 0) и (1; 1).

5. При увеличении $n$ график становится более "крутым" при $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>1$ и более "пологим" при $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$.

Домашнее задание:

1. Исследуйте функцию $y=x^8$ (укажите область определения, чётность, область значений, промежутки монотонности).

2. Постройте схематически графики функций на одной координатной плоскости:
   а) $y=x^2$ и $y=x^4$
   б) $y=x^3$ и $y=x^5$

3. Решите уравнения:
   а) $x^3=27$
   б) $x^4=81$
   в) $x^5=-32$

4. Решите неравенства:
   а) $x^3<64$
   б) $x^4>16$

5. Дополнительно: Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение $x^4=a$ имеет ровно два решения.