Текст учебника. Урок 14. Степенная функция y = x^(p/q), её свойства

Область определения степенной функции с рациональным показателем зависит от нескольких факторов: знака показателя и чётности знаменателя $q$.

2.1. Общий принцип

Функция $y=x^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{x^p}$ определена для тех $x$, при которых подкоренное выражение $x^p$ имеет смысл для корня степени $q$.

2.2. Случай 1: Показатель положительный ($\frac{p}{q}>0$)

А) Если $q$ — нечётное ($q=2k+1$):

• Корень нечётной степени определён для любого действительного числа

• Значит, функция определена при всех $x\in \mathbb{R}$

Б) Если $q$ — чётное ($q=2k$):

• Корень чётной степени определён только для неотрицательных чисел

• Значит, функция определена при $x\ge 0$

2.3. Случай 2: Показатель отрицательный ($\frac{p}{q}<0$)

В этом случае $x^{\frac{p}{q}}=\frac{1}{x^{\mathrm{\mid }p\mathrm{/}q\mathrm{\mid }}}$. Добавляется условие $x\mathrm{\ne }0$ (делить на ноль нельзя).

А) Если $q$ — нечётное:

• Функция определена при всех $x\mathrm{\ne }0$

Б) Если $q$ — чётное:

• Функция определена при $x>0$ (строго больше нуля, так как и корень чётной степени, и деление)

2.4. Сводная таблица области определения

2.5. Примеры определения области определения

Пример 1: $y=x^{\frac{1}{3}}$ ($p=1,q=3$ — нечётное, положительное)

• Область определения: $\mathbb{R}$ (все действительные числа)

Пример 2: $y=x^{\frac{1}{2}}$ ($p=1,q=2$ — чётное, положительное)

• Область определения: $[0;+\mathrm{\infty })$

Пример 3: $y=x^{-\frac{1}{3}}$ ($p=-1,q=3$ — нечётное, отрицательное)

• Область определения: $\mathbb{R}\setminus \{0\}$

Пример 4: $y=x^{-\frac{1}{2}}$ ($p=-1,q=2$ — чётное, отрицательное)

• Область определения: $(0;+\mathrm{\infty })$

Пример 5: $y=x^{\frac{2}{3}}$ ($p=2,q=3$ — нечётное, положительное)

• Область определения: $\mathbb{R}$ (так как кубический корень из любого числа)

Пример 6: $y=x^{\frac{3}{4}}$ ($p=3,q=4$ — чётное, положительное)

• Область определения: $[0;+\mathrm{\infty })$