Текст учебника. Урок 14. Степенная функция y = x^(p/q), её свойства

3.1. Функция y = x^(1/2) (квадратный корень)

Свойства:

• Область определения: $[0;+\mathrm{\infty })$

• Область значений: $[0;+\mathrm{\infty })$

• Монотонность: возрастает на всей области определения
  (чем больше $x$, тем больше $\sqrt{x}$)

• Чётность: функция не является ни чётной, ни нечётной, так как область определения не симметрична относительно нуля

• Ограниченность: не ограничена сверху, ограничена снизу (минимальное значение 0)

• Нуль функции: $y=0$ при $x=0$

График: ветвь параболы, лежащая на боку, проходящая через точки (0;0), (1;1), (4;2), (9;3)

3.2. Функция y = x^(-1) (обратная пропорциональность)

Хотя показатель $-1$ — целое число, это частный случай рационального показателя.

Свойства:

• Область определения: $\mathbb{R}\setminus \{0\}$

• Область значений: $\mathbb{R}\setminus \{0\}$

• Монотонность:

  • убывает на $(-\mathrm{\infty };0)$

  • убывает на $(0;+\mathrm{\infty })$
    (но в целом функция не монотонна на всей области определения)

• Чётность: нечётная ($f(-x)=-f(x)$)

• Ограниченность: не ограничена (при $x\to 0$ $y\to \pm \mathrm{\infty }$)

• Нули функции: нет

График: гипербола, состоящая из двух ветвей в I и III координатных четвертях.

3.3. Функция y = x^(1/3) (кубический корень)

Свойства:

• Область определения: $\mathbb{R}$

• Область значений: $\mathbb{R}$

• Монотонность: возрастает на всей области определения

• Чётность: нечётная ($\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$)

• Ограниченность: не ограничена

• Нуль функции: $y=0$ при $x=0$

График: симметричен относительно начала координат, проходит через точки (-8;-2), (-1;-1), (0;0), (1;1), (8;2)

3.4. Функция y = x^(-1/2)

Свойства:

• Область определения: $(0;+\mathrm{\infty })$

• Область значений: $(0;+\mathrm{\infty })$

• Монотонность: убывает на всей области определения
  (чем больше $x$, тем меньше значение)

• Чётность: не рассматривается из-за несимметричной области определения

• Ограниченность: ограничена снизу (y > 0), не ограничена сверху (при $x\to 0^{+}$ $y\to +\mathrm{\infty }$)

• Нули функции: нет

График: ветвь гиперболы, проходящая через точки (1;1), (4;0.5), (9;1/3)

3.5. Функция y = x^(2/3)

Свойства:

• Область определения: $\mathbb{R}$ (кубический корень из любого числа)

• Область значений: $[0;+\mathrm{\infty })$ (так как квадрат всегда неотрицателен)

• Монотонность:

  • убывает на $(-\mathrm{\infty };0]$

  • возрастает на $[0;+\mathrm{\infty })$

• Чётность: чётная ($(-x{)}^{2\mathrm{/}3}=\sqrt[3]{(-x{)}^2}=\sqrt[3]{x^2}=x^{2\mathrm{/}3}$)

• Ограниченность: ограничена снизу (минимальное значение 0)

• Нуль функции: $y=0$ при $x=0$

График: напоминает параболу, но более "пологая" вблизи нуля и более "крутая" при больших значениях? На самом деле при $x>1$ значения меньше, чем у $x^2$, так как показатель меньше 2.