Текст учебника. Урок 14. Степенная функция y = x^(p/q), её свойства | Сравнение свойств для разных показателей

В начало Календарь Классы Предметы Онлайн-школа Каналы и группы Контакты Регистрация

Класс: 9
Предмет: алгебра
Тема урока: Степенная функция y = x^(p/q), её свойства
Тип урока: урок изучения нового материала
Цель урока: изучить степенную функцию с рациональным показателем, исследовать её свойства в зависимости от чётности знаменателя и знака показателя.
Планируемые результаты:

Знать определение степенной функции с рациональным показателем
Уметь определять область определения функции в зависимости от параметров
Исследовать свойства монотонности и чётности на конкретных примерах

4. Сравнение свойств для разных показателей

4.1. Таблица сравнения

Функция	Область определения	Область значений	Чётность	Монотонность
$y = x^{1 / 2}$	$[0; + \infty)$	$[0; + \infty)$	—	Возрастает
$y = x^{1 / 3}$	$R$	$R$	Нечётная	Возрастает
$y = x^{- 1}$	$R ∖ {0}$	$R ∖ {0}$	Нечётная	Убывает на каждом промежутке
$y = x^{- 1 / 2}$	$(0; + \infty)$	$(0; + \infty)$	—	Убывает
$y = x^{2 / 3}$	$R$	$[0; + \infty)$	Чётная	Убывает при $x < 0$ , возрастает при $x > 0$
$y = x^{3 / 4}$	$[0; + \infty)$	$[0; + \infty)$	—	Возрастает

4.2. Общие закономерности

Если показатель положительный:
- Функция возрастает (если не имеет особенности в нуле)
- При $x > 0$ значения положительны
- При $x = 0$ значение 0 (если 0 входит в ОДЗ)
Если показатель отрицательный:
- Функция убывает на каждом промежутке области определения
- При $x > 0$ значения положительны
- Асимптоты: $x = 0$ (вертикальная) и $y = 0$ (горизонтальная)
Если знаменатель чётный:
- Область определения ограничена неотрицательными $x$ (или строго положительными при отрицательном показателе)
Если знаменатель нечётный:
- Область определения шире — может включать отрицательные $x$