Текст учебника. Урок 14. Степенная функция y = x^(p/q), её свойства

Главные выводы:

1. Степенная функция с рациональным показателем $y=x^{p\mathrm{/}q}$ определяется через корень $q$-й степени.

2. Область определения зависит от чётности $q$ и знака показателя:

   • Нечётный $q$: при положительном показателе — $\mathbb{R}$, при отрицательном — $\mathbb{R}\setminus \{0\}$

   • Чётный $q$: при положительном показателе — $[0;+\mathrm{\infty })$, при отрицательном — $(0;+\mathrm{\infty })$

3. Чётность функции определяется чётностью числителя $p$ при нечётном $q$.

4. Монотонность: при положительном показателе функция возрастает (на своей области определения), при отрицательном — убывает.

5. Графики функций с рациональным показателем разнообразны и занимают промежуточное положение между степенными функциями с целыми показателями.

Домашнее задание:

1. Найдите область определения функций:
   а) $y=x^{1\mathrm{/}4}$
   б) $y=x^{3\mathrm{/}5}$
   в) $y=x^{-2\mathrm{/}3}$
   г) $y=x^{-3\mathrm{/}4}$

2. Исследуйте функцию $y=x^{3\mathrm{/}4}$ (область определения, область значений, чётность/нечётность, монотонность).

3. Сравните числа:
   а) $4^{1\mathrm{/}3}$ и $3^{1\mathrm{/}2}$
   б) $8^{1\mathrm{/}4}$ и $4^{1\mathrm{/}3}$

4. Решите уравнения:
   а) $x^{1\mathrm{/}3}=2$
   б) $x^{2\mathrm{/}5}=4$
   в) $x^{-1\mathrm{/}3}=\frac{1}{2}$

5. Дополнительно: Постройте схематически графики функций $y=x^{1\mathrm{/}2}$, $y=x^{1\mathrm{/}3}$, $y=x^{2\mathrm{/}3}$ на одной координатной плоскости.