Текст учебника. Урок 16. Общие методы исследования функций. Чтение графиков

Часто в задачах даётся график функции, и требуется описать её свойства, не зная формулы.

2.1. Пример 2: Анализ графика

Дан график функции (рисунок). Опишите его свойства.

(Представим, что на рисунке изображена парабола с ветвями вниз, вершиной в точке (2; 3), пересекающая ось OX в точках $x=0$ и $x=4$.)

Решение по схеме:

1. Область определения: график непрерывен для всех $x$ → $D(f)=\mathbb{R}$.

2. Чётность/нечётность: график не симметричен ни относительно OY, ни относительно начала координат → функция общего вида.

3. Нули функции: пересечения с осью OX: $x=0$ и $x=4$.
   Пересечение с OY: при $x=0$ $y=0$ → точка (0; 0).

4. Промежутки знакопостоянства:

   • $f(x)>0$ при $x\in (0;4)$ (график выше оси OX)

   • $f(x)<0$ при $x\in (-\mathrm{\infty };0)\cup (4;+\mathrm{\infty })$ (график ниже оси OX)

5. Непрерывность: график — сплошная линия → функция непрерывна на $\mathbb{R}$.

6. Монотонность:

   • Возрастает на $(-\mathrm{\infty };2]$ (график идёт вверх)

   • Убывает на $[2;+\mathrm{\infty })$ (график идёт вниз)

7. Ограниченность: функция ограничена сверху (вершина — максимум), но не ограничена снизу (ветви уходят вниз).

8. Наибольшее и наименьшее значения:

   • Наибольшее значение: $y_{max}=3$ достигается в точке $x=2$.

   • Наименьшего значения нет (при $x\to \pm \mathrm{\infty }$ $y\to -\mathrm{\infty }$).

9. Область значений: $E(f)=(-\mathrm{\infty };3]$.

2.2. Пример 3: Анализ графика с разрывом

Дан график функции $y=\frac{1}{x-1}$. Опишите свойства.

Решение:

1. Область определения: все $x\mathrm{\ne }1$.

2. Чётность/нечётность: не является.

3. Нули функции: нет (числитель 1 ≠ 0).

4. Промежутки знакопостоянства:

   • При $x>1$: $y>0$

   • При $x<1$: $y<0$

5. Непрерывность: непрерывна на $(-\mathrm{\infty };1)$ и $(1;+\mathrm{\infty })$. В точке $x=1$ разрыв II рода.

6. Монотонность: убывает на каждом промежутке.

7. Ограниченность: не ограничена (при $x\to 1^{\pm }$ значения стремятся к $\pm \mathrm{\infty }$).

8. Наибольшее/наименьшее: нет.

9. Область значений: $(-\mathrm{\infty };0)\cup (0;+\mathrm{\infty })$.