Текст учебника. Урок 16. Общие методы исследования функций. Чтение графиков

3.1. Определения

Определение 1: Функция $y=f(x)$ называется ограниченной сверху на множестве $X$, если существует такое число $M$, что для всех $x\in X$ выполняется неравенство $f(x)\le M$.

Определение 2: Функция $y=f(x)$ называется ограниченной снизу на множестве $X$, если существует такое число $m$, что для всех $x\in X$ выполняется неравенство $f(x)\ge m$.

Определение 3: Функция называется ограниченной на множестве $X$, если она ограничена и сверху, и снизу, т.е. существует такое число $C>0$, что $\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }\le C$ для всех $x\in X$.

3.2. Примеры

Пример 4: $f(x)=x^2$ на $\mathbb{R}$.

• Ограничена снизу ($x^2\ge 0$), но не ограничена сверху.

Пример 5: $f(x)=\sin x$ на $\mathbb{R}$.

• Ограничена: $\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }\le 1$ для всех $x$.

Пример 6: $f(x)=\frac{1}{x}$ на $(0;+\mathrm{\infty })$.

• Не ограничена сверху (при $x\to 0^{+}$ значения стремятся к $+\mathrm{\infty }$), ограничена снизу ($f(x)>0$).

Пример 7: $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$ на $\mathbb{R}$.

• Ограничена: $0<f(x)\le 1$.

3.3. Геометрический смысл

Ограниченность функции означает, что её график целиком помещается в горизонтальную полосу: снизу прямой $y=m$ и сверху прямой $y=M$.