Текст учебника. Урок 16. Общие методы исследования функций. Чтение графиков

4.1. Определения

Определение 4: Число $M$ называется наибольшим значением функции $f(x)$ на множестве $X$, если:

1. Существует точка $x_0\in X$ такая, что $f(x_0)=M$.

2. Для всех $x\in X$ выполняется $f(x)\le M$.

Определение 5: Число $m$ называется наименьшим значением функции $f(x)$ на множестве $X$, если:

1. Существует точка $x_0\in X$ такая, что $f(x_0)=m$.

2. Для всех $x\in X$ выполняется $f(x)\ge m$.

4.2. Теорема Вейерштрасса (формулировка)

Теорема: Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a;b]$, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Это означает, что существуют точки $x_1,x_2\in [a;b]$ такие, что:

• $f(x_1)={\max }_{[a;b]}f(x)$

• $f(x_2)={\min }_{[a;b]}f(x)$

Важное замечание: Теорема гарантирует существование, но не говорит, как эти точки найти. В 9 классе мы находим их по графику или из свойств функции.

4.3. Пример 8: Нахождение наибольшего и наименьшего значений на отрезке

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=x^2-4x+3$ на отрезке $[0;3]$.

Решение:

1. Функция непрерывна (многочлен).

2. Найдём вершину параболы: $x_0=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2}=2$. Точка $x=2$ входит в отрезок.

3. Вычислим значения на концах отрезка и в вершине:

   • $f(0)=0-0+3=3$

   • $f(2)=4-8+3=-1$

   • $f(3)=9-12+3=0$

4. Сравниваем: наибольшее $=3$ (при $x=0$), наименьшее $=-1$ (при $x=2$).

Ответ: $y_{\text{наиб}}=3$, $y_{\text{наим}}=-1$.

4.4. Пример 9: Функция, не достигающая наибольшего значения

Рассмотрим $f(x)=\frac{1}{x}$ на интервале $(0;1]$.

• Наименьшее значение: при $x=1$ $f(1)=1$ — достигается.

• Наибольшего значения нет, так как при $x\to 0^{+}$ $f(x)\to +\mathrm{\infty }$ и сколь угодно большие значения достигаются, но максимума нет (интервал открыт слева).