Текст учебника. Урок 16. Общие методы исследования функций. Чтение графиков

Главные выводы:

1. Полное исследование функции проводится по стандартной схеме из 9 пунктов.

2. Умение читать график позволяет быстро определять основные свойства функции без формулы.

3. Ограниченность функции — важная характеристика, означающая, что график не уходит в бесконечность по вертикали.

4. Теорема Вейерштрасса гарантирует существование наибольшего и наименьшего значений для непрерывной на отрезке функции.

5. Наибольшее и наименьшее значения могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах.

Домашнее задание:

1. Исследуйте функцию $f(x)=\frac{2x}{x+1}$ по схеме (область определения, нули, промежутки знакопостоянства, чётность, монотонность, ограниченность).

2. По графику функции (представленному в учебнике) определите:

   • область определения;

   • нули функции;

   • промежутки знакопостоянства;

   • промежутки возрастания и убывания;

   • наибольшее и наименьшее значения (если существуют).

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=x^2-2x+3$ на отрезке $[-1;2]$.

4. Дополнительно: Приведите пример функции, определённой на $\mathbb{R}$, которая:
   а) ограничена снизу, но не ограничена сверху;
   б) ограничена, но не имеет наибольшего значения.