Текст учебника. Урок 5. Метод алгебраического сложения.

Почленное сложение и вычитание уравнений

В основе метода алгебраического сложения лежит важное свойство равенств: если два числа равны и два других числа равны, то их суммы (и разности) также равны.

Теорема (о почленном сложении уравнений):
Если даны два верных равенства:

$$a=b\text{и}c=d,$$

то справедливы также равенства:

$$a+c=b+d\text{(почленное сложение)}$$$$a-c=b-d\text{(почленное вычитание)}$$

Применительно к системе уравнений:
Если пара чисел $(x_0;y_0)$ удовлетворяет каждому уравнению системы:

$$\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y=C_1\\ A_{2}x+B_{2}y=C_2\end{array}$$

то эта же пара удовлетворяет и уравнению, полученному почленным сложением (или вычитанием) исходных уравнений:

$$(A_1+A_2)x+(B_1+B_2)y=C_1+C_2$$

Важное следствие: Если мы заменим одно из уравнений системы его суммой с другим уравнением (умноженным на некоторое число), то получим систему, равносильную исходной.

Почему это работает?

Рассмотрим систему:

$$\{\begin{array}{l}2x+3y=8\\ 5x-3y=1\end{array}$$

Если $(x;y)$ — решение, то:

• $2x+3y=8$ (верно)

• $5x-3y=1$ (верно)

Сложим левые и правые части:
$(2x+3y)+(5x-3y)=8+1$
$7x=9$

Полученное уравнение — следствие исходной системы. Любое решение исходной системы удовлетворяет этому уравнению. Более того, если мы объединим его с одним из исходных уравнений, мы получим систему, равносильную исходной.