Текст учебника. Урок 15. Понятие о непрерывности функции. Преобразование графиков.

1.1. Наглядное представление

В математике часто важно знать, является ли функция непрерывной. Что это значит?

Интуитивное определение: Функция непрерывна на промежутке, если её график можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. График представляет собой сплошную линию без разрывов, скачков и "дырок".

Пример 1 (непрерывные функции):

• $y=2x+1$ — прямая линия (непрерывна везде)

• $y=x^2$ — парабола (непрерывна везде)

• $y=\sqrt{x}$ — непрерывна на $[0;+\mathrm{\infty })$

Пример 2 (разрывные функции):

• $y=\frac{1}{x}$ — имеет разрыв в точке $x=0$ (график распадается на две отдельные ветви)

• $y=\{\begin{array}{ll}x,& x<1\\ x+1,& x\ge 1\end{array}$ — имеет скачок в точке $x=1$

• $y=\frac{x^2-1}{x-1}$ — имеет "дырку" в точке $x=1$ (хотя функция не определена в этой точке, предел существует)

1.2. Точки разрыва

Точка разрыва — это точка, в которой функция не является непрерывной.

Основные типы разрывов (на интуитивном уровне):

1. Разрыв I рода (скачок): функция имеет конечные, но разные пределы слева и справа.
   Пример: функция знака $y=\mathrm{sign}(x)$ в точке $x=0$.

2. Разрыв II рода (бесконечный скачок): хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
   Пример: $y=\frac{1}{x}$ в точке $x=0$.

3. Устранимый разрыв: функция не определена в точке, но предел существует.
   Пример: $y=\frac{x^2-1}{x-1}$ в точке $x=1$ (после сокращения получаем $y=x+1$, но в самой точке функция не определена).

1.3. Пример 3: Определение точек разрыва

Найти точки разрыва функции $y=\frac{x}{x^2-4}$.

Решение:
Знаменатель обращается в ноль при $x^2-4=0$, т.е. $x=\pm 2$.
В этих точках функция не определена, и при приближении к ним значения функции стремятся к бесконечности.
Это точки разрыва II рода.

Ответ: $x=-2$, $x=2$